La proyección ortogonal de un punto sobre la recta se definiría como el punto proyectado por el punto original sobre una recta que "pasa" junto a este. De manera que parecería algo similar a lo que se muestra en al imagen siguiente:

proyeccion.png

El punto A sería la proyección ortogonal del punto P sobre la recta de nombre L.

La proyección ortogonal (A) de un punto sobre una recta se encuentra mediante la solución de el sistema de ecuaciones determinado por:
  • La ecuación de la recta (L)
  • La ecuación de la recta perpendicular a L que pasa por el punto P.

Para esclarecer un poco la explicación, a continuación realizare un ejercicio relacionado con este concepto.

Ejercicio:

Dada la recta r: x - 3y - 5 = 0 el punto P(-2,1), determina el punto proyectado por el punto P sobre la recta r.

Resolución:

Primeramente hemos de determinar la recta s perpendicular a r y que pasa por el punto P.
Conociendo las condiciones de perpendicularidad entre rectas determinamos que el vector (-B,A) de la recta r será el vector (A,B) de la recta s. De manera que la ecuación de la recta s sería la siguiente: s: 3x + y + C = 0. Para encontrar C substituimos los valores x,y por los del punto P(-2,1), de manera que finalmente la ecuación de s es la siguiente: s: 3x + y + 5 = 0

Para determinar la proyección de el punto P sobre la recta r ahora solo tenemos que encontrar el punto de corte mediante la solución del sistema de ecuaciones de las dos rectas, s y r de la siguiente manera:
wghlriew.jpg
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, la solución es que x = -1, i y = -2, de manera que el punto de proyección (P') será el punto P'(-1,-2)