Ecuación vectorial


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Consideramos un punto conocido P(xo,yo) de la recta, un vector no nulo v=(a,b) que nos indica la dirección de la recta i un punto genérico X(x,y). Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y de un vector posición, si tuviesemos dos puntos, A, B, entonces el vector AB es un vector posición.


Ejemplo 1

Una recta pasa por el punto A(-1,3) y tiene un vector director v(2,5). Escribe su ecuación vectorial

Punto--> A(-1,3)
Vector director--> v(2,5) Por tanto la ecuación será muy fácil de construir y quedará así.

(x,y)= (-1,3)+k(2,5)



Ejemplo 2


Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(-2, -1) y B(0, 1).

El vector director será: v → = A B → = ( 0 - ( - 2 ) , 1 - ( - 1 ) ) = ( 2 , 2 ) .

Como punto de la recta podemos tomar indistintamente cualquiera de los dos puntos que nos dan, por ejemplo, el punto A(-2, -1).

La ecuación vectorial de la recta será: (x,y) = (xo,yo) + k · (2, 2), con t cualquier número real ja que el vector director ya lo hemos calculado a partir de los dos puntos que nos dan al principio. Finalmente ya con todos los datos que hemos calculado podremos construir la ecuación que será:

(x, y) = (-2, -1) + k · (2, 2)

Este ejemplo no es muy difícil de realizar pero hemos de tener en cuenta el cálculo del vector director.

Ecuaciones paramétricas


0e2490485026f855046c36fa35121921.gifflecha-derecha-delantera-azul-icono-7524-96.png93fe373d563c03f0e1f13a54ffa96eaa.gif

Estas dos igualdades son las ecuaciones paramétricas de la recta. La información que se dispone si se conocen las ecuaciones paramétricas de una recta es la misma que la que se tiene si se conoce la ecuacion vectorial: Un punto i un vector director.

Ejemplo 3


Una recta pasa por el punto A(-1,6) y tiene un vector director v= (4,7)

Primero podemos construir la vectorial --> (x,y)= (-1,6) +k · ( 4,7) por tanto las paramétricas segun los conceptos explicados--> x= -1+4k
y=6+7k

Ecuación contínua


Si aislamos k de cada una de las ecuaciones paramétricas obtenemos la igualdad siguiente:
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Esta igualdad tiene el nombre de ecuación contínua de la recta.

Si conocemos la ecuación continua de una recta conocemos también un punto i un vector director de la misma manera que pasa con la ecuación vectorial i las ecuaciones paramétricas.

Recordemos que a partir punto i del vector director se puede escribir directamente la ecuación continua , por tanto no hace falta pasar por la vectorial ni las paramétricas.

Ejemplo 4

Una recta que pasa por el punto B(1,2) i tiene como vector director
(-2,7).

Construimos la ecuación flecha-derecha-delantera-azul-icono-7524-96.png001e8793ee74cab15ed899bacdea41cf.gif

Como podréis observar hemos colocado los puntos en el numerador (1,2) y el vector director está situado en el denominador (-2,7)

Ecuación general o implícita


De la ecuación continua, explicada en el apartado anterior podemos deducir:

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e5e48abebd06a17a9cdc2505c22d1db5.gif

Si nombramos b=A, -a=B y ayo-bxo=C queda ----> Ax+By+C=0 donde A y B no pueden ser ceros a la misma vez.

Por tanto A y B son los coeficientes de x e y respectivamente y C es el termino independiente.

Esta ecuación, a diferencia de las otras no nos da ninguna información directa de la recta. No obstante, si asignamos cualquier valor a x podemos determinar los valores correspondiendtes de y , entonces podremos conocer las coordenadas de tanto puntos de la recta que querramos.

*Recordemos que hay suficiente con dos puntos para dibujar una recta

De otra manera, podemos conocer la dirección de la recta a partir de la ecuación general o implícita. Teniendo en cuenta que A=b y B=-a, un vector director de la recta es v=(a,b)=(-B,A)

Dentro de las ecuaciones generales encontramos casos particulares que son los siguientes:

1) SI A=0 --> By+C=0 --> f44feb782db1c71da4b87c7755a75348.gif. Si nombramos 6c5fe0738b27ae7920d49efc13c944f7.gif nos queda y=n

2) Si B=0 --> Ax+C=0 --> 7e3c531ba447e8507b4e1593b8b1fac3.gif. Si nombramos 9d5f635c55c4eaf8d23f7093e68916ff.gifnos queda x=p

3) Si C=0 --> Ax+By=0, es una recta que pasa por el origen

4) Si A=C=0 --> By=0 --> y=0, es la recta que determina el eje de las abscisas

5) Si B=C=0 --> Ax=0 --> x=0, es la recta que determina el eje de ordenadas

Ejemplo 5
a) Encuentra la ecuación general o implícita de la recta que tiene por ecuación continua 16a09167946b3552e149fded51b66bb9.gif
b) Dada la recta 2x-3y+1=0 , determina un punto y un vector director.

Resolución:

a) A partir de la ecuación continua podemos escribir

3(x+1)=y-2 --> 3x+3=y-2 --> 3x-y+5=0

b) Damos a x un valor arbitrario, por ejemplo , x=1. Hace falta que se cumpla: 2-3Y+1=0 --> y=1

Por tanto el punto P(1,1) pertenece a esta recta i uno de sus vectores directores puede ser v=(-B,A)=(3,2)

Ecuación explícita


Si aislamos la y de la ecuación general de la recta obtenemos:

bb8de04eeb5086e481cdb013c359fdd0.gif Donde 6c5fe0738b27ae7920d49efc13c944f7.gif es la ordenada al origen. Si nombramos 0ea28beec12b3eec0ef737b93771aa26.gifla ecuación se expresa de la siguiente manera:


flecha-derecha-delantera-azul-icono-7524-96.png d97c13890a1fd1d984a5cd1b9df836b8.gif

Y se conoce como ecuación explícita de la recta. Observa que la ecuación explícita de la recta tiene la misma expresión que la función polinomica de primer grado, conocida como función lineal ( n=0)

En la ecuación explícita de la recta, el coeficiente x es el pendiente de la recta. Se cumple que 9b6cd66ecbe59bbd75c5bc90cfea86be.gif donde alfa es el ángulo que forma la recta con el sentido positivo del eje OX.

Por tanto el pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje OX considerado en sentido positivo.

A partir de la ecuación implícita de la recta se puede determinar la pendiente i el punto de intersección con el eje de ordenadas. Logicamente si conocmemos el pendiente de una recta sabemos su dirección.

El signo de la pendiente nos ddetermina en que cuadrante se encuentra el ángulo de inclinación. Hace falta saber que este ángulo solo puede ser del primer cuadrante o del segundo.

Ejemplo 6

Halla la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A(1,5) y tiene como pendiente m=-2

y-5=-2(x-1) flecha-derecha-delantera-azul-icono-7524-96.png y-5=-2x+2 flecha-derecha-delantera-azul-icono-7524-96.png y=-2x+7



Ecuación canónica


La ecuación canónica o también llamada segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.
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fa23b9b672960bd5bea7a8c86dfacbff.gif

1) a es la abscisa en el origen de la recta

2) b es la ordenada en el origen de la recta

Los valores de a y b se pueden obtener de la ecuación general si y=0 resulta x=a o si x=0 resulta y=b

Una recta no puede tener forma canónica si:

1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y=n .
2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x=k
3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y=mx

Ejemplo 7

Encuentra la ecuación canónica de la recta de la ecuacióng eneral 3x-2y-6=0

Resolución

a) Transformando la ecuación general de la siguiente manera:

3x-2y-6=0 , 3x-2y=6 -->0c35c5c688369e400cee46b2ebdb53ed.gif, flecha-derecha-delantera-azul-icono-7524-96.pngd41e71796079646de5cd051d188c53d5.gif

De este modo hemos pasado de general a canónica y sabemos que la recta pasa por (2,0) y (0,-3)

b) Calculando directamente los valor de p i n

Si y=0 --> 3x-6=0 --> x=2 --> p=2

Si x=0 --> -2y-6=0 --> y=-3 --> n=-3

Por tanto la ecuación canónica b5ad110ed09fb99bb671515d8307ddc8.gif


Vídeos sobre ejercicios:

http://www.youtube.com/watch?v=ZesQdtU9UZE
En este enlace he encontrado a un professor que explica como encontrar una recta paralela que pasa por un punto dado. Creo que está muy bien explicado y os puede servir de ayuda para este tipo de ejericios.








http://www.youtube.com/watch?v=5lKhA0fgpO4&feature=fvwrel
En este enlace de youtube podemos aprender como determinar una recta a partir de dos puntos. También está bien explicado. Pronto colgaremos más:)