Para comenzar este nuevo apartado, hemos decidido simplificar el contenido que vamos a explicar en el siguiente esquema:


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A partir de esquema podemos ver cuáles son los tipos de rectas (según la relación de dos o más rectas). Gracias a los dibujos, podemos ver como dos rectas pueden interactuar entre si en los ejes cartesianos. A la práctica, cuando se nos dan diferentes fórmulas de rectas podemos saber como son entre si analíticamente a través de esta simple igualdad:



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Para enseñar como se debe aplicar esta igualdad, hemos simplicado el proceso en los siguientes pasos:

1. Pasar las equaciones de dichas rectas, a sus respectivas fórmulas generales (en el caso de que no lo estén).


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"Ecuación general"

2. Extraer los valores situados en A, B y C de las distintas ecuaciones
3. Aplicar la igualdad

Una vez hechos estos pasos podemos encontrarnos con distintas posibilidades:
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Las rectas són iguales
Las rectas son paralelas
Las rectas se cruzan (secantes
o perpendiculares)





Las rectas secantes

Las rectas secantes, como ya os hemos explicado son aquellas que se cortan, y a la vez incumplen la igualdad presentada anteriormente. Sin embargo este tipo de rectas si dividen en dos tipos:
  • Secantes
  • Perpendiculares

Las diferéncias entre estas dos, es el ángulo que forman. Las perpendiculares forman un ángulo de 90º, mientras que las secantes son todas las restantes.

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Esta formula se desarrolla de la forma siguiente:
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Mediante esta fórmula podemos calcular el ánguo que forman las dos rectas. En caso que de 90º sabremos que son rectas perpendiculares.

A pesar de esto, tenemos otros métodos para sabes si las dos rectas son perpendiculares o no, y es a través de la igualdad siguiente:

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Si la igualdad se cumple, las rectas seran perpendiculares, es por esto que a esta igualdad se la llama como condición de perpendicularidad.



Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones, entre 1-2, 1-3, y 2-3:

  1. 2x + 3y - 4 = 0
  2. 2x + 3y + 9 = 0
  3. 4x + 6y - 8 = 0

Como podemos ver este, es uno de los ejercicios más simples de este tipo de problemas. Al estar en ecuaciones generales una parte del trabajo ya esta hecho.
Ahora lo que debemos hacer es analizar las diferentes situaciones que el enunciado nos pide que estudiemos.

Situación 1 (posición relativa entre rectas 1 y 2)

Comenzaremos extrayendo los valores A,B y C de cada recta.
r1: 2x + 3y - 4 = 0
r2: 2x + 3y + 9 = 0
A
B
C
A’
B’
C’
2
3
-4
2
3
9

Una vez hecho esto ya podemos aplicar la igualdad explicada anteriormente:

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Substituimos los valores A, B y C (y A', B' y C') de sus respectivas rectas.


Observamos que solo se cumple la primera igualdad, por esto (si miramos la explicación anterior) podemos decir que las rectas r1 y r2 son paralelas entre si.

Situación 2 (posición relativa entre rectas 1 y 3)


Al igual que en el ejercicio anterior comenzaremos calculando los valores A, B y C de las rectas 1 y 3. (Los valores de la recta 1 ya los tenemos, así que no los vamos a calcular de nuevo).

r3: 4x + 6y - 8 = 0
A'
B'
C’
4
6
-8
Aplicamos la igualdad:
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Al llegar aquí veremos que la igualdad no se cumple, pero, y si simplificamos?

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El hecho de simplificar nos demuestra que las rectas 1 y 3 son las mismas.


Situación 3 (posición relativa entre rectas 2 y 3)

En este último apartado podemos aplicar directamente la igualdad.

(A la larga el proceso de extraer los valores de la general es algo mecánico y que nosotros hemos decidido hacerlo para mostrar como se hacen este tipo de ejercicos)

La igualdad:
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Aplicada la igualdad llegamos a la conclusión que la recta 1 y 3 son paralelas.



Ejemplo 2

Calcula la posición relativa entre las rectas r y s, si sabemos que la recta r pasa por el punto A (1,1) y B (2,1), y la recta s pasa por el punto C (3,5) y D (4,1). En el caso que sean secantes, di el punto en que se cortan y ángulo que forman.

A diferéncia del otro ejercicio, en éste se nos dan un conjunto de datos a través de los cuáles debemos hallar las ecuaciones generales para poder aplicar la igualdad y hallar la posición relativa.




Una vez tenemos las ecuaciones generales de dichas rectas podemos avanzar: